Conţinut
- etape
- Pentru început
- Metoda 1 Continuați prin încercare și eroare
- Metoda 2 Procedați prin descompunere
- Metoda 3 "jocul triplu"
- Metoda 4 Diferența a două pătrate
- Metoda 5 Utilizarea formulei cvadratice
- Metoda 6 Utilizarea unui calculator
Un polinom este compus dintr-o variabilă (x) ridicată la o anumită putere numită gradul polinomului și câțiva alți termeni de grade inferioare și / sau alte câteva constante. A factoriza un polinom de gradul doi (numit și „ecuație patratică”) înseamnă a reduce expresia inițială la un produs de expresii de grade mai mici, care poate fi apoi înmulțit unul cu celălalt. Aceste cunoștințe fac parte din cursul liceului și multe altele, astfel încât acest articol poate fi dificil de înțeles dacă nu aveți încă nivelul necesar de matematică.
etape
Pentru început
-
Scrieți-vă expresia. Forma standard a unei ecuații de gradul doi este:ax + bx + c = 0
Începeți să aranjați termenii ecuației dvs. în funcție de ordinea puterilor, de la cea mai mare la cea mai mică, ca în forma standard. Luăm de exemplu:6 + 6x + 13x = 0
Vom reorganiza această expresie pentru a facilita munca prin simpla mutare a termenilor:6x + 13x + 6 = 0. -
Găsiți formularul conținut folosind una dintre metodele explicate mai jos. Factorizarea va oferi două expresii mai scurte care vor da polinomul inițial dacă le vom multiplica una cu alta:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
În acest exemplu, (2x +3) și (3x + 2) sunt factori din expresia inițială, 6x + 13x + 6. -
Verifică-ți munca! Înmulțiți factorii pe care i-ați identificat. Apoi combinați termenii similari și veți fi gata. Începeți cu:(2x + 3) (3x + 2)
Să începem să testăm această expresie, înmulțind termenii celor două expresii pentru a obține:6x + 4x + 9x + 6
De acolo, putem adăuga 4x și 9x, deoarece sunt termeni de același grad. Știm atunci că factorii noștri sunt corecți, deoarece ne ocupăm bine de expresia plecării:6x + 13x + 6.
Metoda 1 Continuați prin încercare și eroare
Dacă aveți de-a face cu un polinom destul de simplu, ar trebui să puteți găsi descompunerea sa ca factor produs dintr-o singură privire. De exemplu, mulți matematicieni sunt capabili să vadă această expresie 4x + 4x + 1 dă factorii (2x + 1) și (2x + 1) prin obișnuință și cu experiență (evident, acest lucru nu este atât de simplu în cazul polinoamelor complexe). Pentru acest exemplu, să luăm o expresie mai puțin obișnuită:
.
-
Faceți o listă a factorilor de coeficient are și c. Folosind expresia formularului ax + bx + c = 0, identificați coeficienții are și c și enumerați factorii corespunzători. Pentru: 3x + 2x - 8, acest lucru dă:a = 3 și are o singură pereche de factori: 1 * 3 c = -8 și patru perechi de factori: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 și -1 * 8.. -
Scrieți pe bucata de hârtie două perechi de paranteze cu spațiu pentru a scrie în interiorul lor. Veți introduce constantele pentru fiecare expresie în spațiul furnizat:(x) (x). -
Înainte de x, scrieți o pereche de factori posibili pentru coeficient are. Pentru coeficient are în exemplul nostru, 3x, există o singură posibilitate:(3x) (1x). -
Apoi completați cele două spații goale rămase cu o pereche de factori pentru coeficient c. Luăm de exemplu 8 și 1. Scrieți-le:(3x8) (X1). -
Decide acum semnul (mai mult sau mai puțin) pentru a plasa între x și numărul pe care l-ați plasat după el. Conform semnului expresiei originale, este posibil să se găsească care ar trebui să fie semnele constantelor. apel h și k constantele factorilor noștri:Dacă ax + bx + c atunci (x + h) (x + k) Dacă ax - bx - c sau ax + bx - c atunci (x - h) (x + k) Dacă ax - bx + c atunci (x - h) (x - k)
În exemplul nostru, 3x + 2x - 8, semnele trebuie plasate în felul următor: (x - h) (x + k), ceea ce ne oferă următorii doi factori:(3x + 8) și (x - 1). -
Verifică-ți formularul de facturare prin reamenajarea acesteia. Un prim test rapid este de a verifica dacă termenul de mijloc are valoarea corectă. Dacă x nu este bun, atunci este posibil să fi ales perechea de factori greșite pentru coeficient c. Să ne verificăm rezultatele:(3x + 8) (x - 1)
Facând o înmulțire, obținem:3x - 3x + 8x - 8
Adăugând termenii similari (-3x) și (8x) pentru a simplifica această expresie, obținem:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Știm acum că probabil am identificat factorii greșiți:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8. -
Dacă este necesar, schimbați alegerea de factori. În exemplul nostru, să încercăm 2 și 4 în loc de 1 și 8:(3x + 2) (x - 4)
Acum, coeficientul nostru c este -8, dar multiplicațiile (3x * -4) și (2 * x) dau -12x și 2x, care în plus nu dau întotdeauna valoarea inițială a b, adică + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x. -
Dacă este necesar, inversați comanda. Inversăm în exemplul nostru locul 2 și 4:(3x + 4) (x - 2)
Acum coeficientul c este întotdeauna bun, dar coeficienții termenilor în x merită acest timp -6x și 4x. Odată adăugat, acest lucru oferă:-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x Suntem foarte aproape de valoarea inițială a 2x pe care încercăm să o găsim, dar semnul nu este bun. -
Verificați din nou semnele, dacă este necesar. Vom păstra acum aceeași ordine, dar vom schimba semnele:(3x - 4) (x + 2)
Coeficientul înainte c este întotdeauna bun, iar termenii din x acum merită (6x) și (-4x). deoarece:6x - 4x = 2x 2x = 2x Deci, obținem 2x-ul pe care l-am avut inițial. Deci am găsit probabil factorii potriviți.
Metoda 2 Procedați prin descompunere
Această metodă ne va permite să identificăm toți factorii posibili pentru obținerea coeficienților are și c și folosiți-le pentru a identifica care sunt factorii potriviți. Dacă numerele sunt foarte mari sau celelalte metode de încercare și eroare par prea lungi, puteți utiliza această metodă. Ia următorul exemplu:
.
-
Înmulțiți coeficientul are după coeficient c. În exemplul nostru, are este egal cu 6 și c este de asemenea egal cu 6.6 * 6 = 36. -
Găsiți coeficientul b prin factoring și apoi testarea factorilor obținuți. Căutăm două numere care sunt factori ai produsului are * c pe care l-am identificat și a cărui sumă merită valoarea coeficientului "b" (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Introduceți cele două numere pe care tocmai le-ați obținut în ecuația dvs.; așezați-le în fața x, astfel încât suma lor să fie egală cu coeficientul b. Să luăm scrisorile k și h pentru a reprezenta cele două numere obținute, 4 și 9:topor + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
Factorul polinomului dvs. prin grupare. Organizați ecuația astfel încât să găsiți cel mai mare factor comun al primilor doi termeni și cel mai mare factor comun al ultimilor doi termeni. Apoi, ar trebui să obțineți o sumă de două forme factorate identice. Sumați cei doi coeficienți împreună și puneți-i între paranteze în fața formei dvs. conținute; atunci veți obține cei doi factori:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2).
Metoda 3 "jocul triplu"
Această metodă este foarte similară cu cea anterioară. Aceasta constă în examinarea factorilor posibili pentru produsele coeficienților are și c, apoi folosiți-le pentru a găsi valoarea lui b. Luăm de exemplu următoarea ecuație:
-
Înmulțiți coeficientul are după coeficient c. Ca și în cazul metodei de descompunere, aceasta ne va ajuta să identificăm potențialii candidați pentru coeficient b. În exemplul nostru, are este egal cu 8 și c merită 2.8 * 2 = 16. -
Găsiți cele două numere al căror produs este numărul tocmai găsit mai devreme (16) și a cărui sumă dă coeficientul "b". Acest pas este identic cu cel al metodei de descompunere - adică testăm și respingem candidații pentru constante. Produsul coeficienților are și c este egal cu 16, iar coeficientul c este egal cu 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Luați aceste două numere și înlocuiți-le în formula „triple play”. Ia cele două numere din pasul anterior - hai să le sunăm h și k - și introduceți-le în următoarea expresie:((ax + h) (ax + k)) / a
Obținem apoi:((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
Găsiți care dintre expresiile parentetice din numărător este divizibilă după coeficient are. În acest exemplu, testăm dacă (8x + 8) sau (8x + 2) pot fi împărțite la 8. (8x + 8) este divizibil cu 8, atunci vom împărți această expresie cu are și lăsați cealaltă expresie așa cum este.(8x + 8) = 8 (x + 1)
Expresia pe care o păstrăm aici este cea care rămâne după divizare după coeficient are : (x + 1). -
Găsiți - dacă există - un factor comun mai mare în ambele paranteze. În exemplul nostru, a doua expresie are un factor comun mai mare de 2, deoarece 8x + 2 = 2 (4x + 1). Combinați acest răspuns cu expresia pe care ați găsit-o în pasul anterior. Ați găsit astfel cei doi factori ai polinomului dvs.2 (x + 1) (4x + 1).
Metoda 4 Diferența a două pătrate
Unii coeficienți ai polinoamelor pot fi identificați ca „pătrate”, adică drept produse ale înmulțirii a două numere. Prin identificarea acestor pătrate, puteți factoriza unele polinomii mult mai rapid. Luăm de exemplu ecuația:
-
Începeți prin a factoriza totul într-un factor comun mai mare dacă este posibil. În exemplul nostru, vedem 27 și 12, ambele fiind divizibile cu 3, deci putem „izbucni” expresia inițială după cum urmează:27x - 12 = 3 (9x - 4). -
Identificați dacă coeficienții ecuației dvs. sunt numere pătrate. Pentru a utiliza această metodă, ar trebui să puteți găsi rădăcini pătrate pentru coeficienții dvs. (rețineți că nu considerăm semne negative - întrucât avem de-a face cu pătrate, acestea pot fi produsul a două numere pozitive sau negativ)9x = 3x * 3x și 4 = 2 * 2. -
Folosind rădăcinile pătrate pe care le-ați găsit, scrieți-vă factorii. Luați valorile de are și c găsit anterior - are = 9 și c = 4 - înainte de a-și găsi rădăcina pătrată - √are = 3 și √c = 2. Aceștia vor fi coeficienții expresiilor noastre factorate:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metoda 5 Utilizarea formulei cvadratice
Dacă toate metodele de mai sus au eșuat și nu puteți găsi factorii corecți pentru ecuația dvs., atunci utilizați formula cvadratică. Ia următorul exemplu:
-
Luați valorile coeficienților „a”, „b” și „c” și înlocuiți-le în următoarea formulă cuadratică:x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Obținem apoi expresia:x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2. -
Rezolvați ecuația pentru a găsi x. După cum puteți vedea mai sus, ar trebui să obțineți două valori x:
x = -2 + √ (3) sau x = -2 - √ (3). -
Utilizați valoarea x pentru a găsi factorii. Introduceți valorile x obținute anterior ca constante ale celor două expresii polinomiale. Aceștia vor fi factorii dvs. apel h și k valorile lui x și scrieți cele două forme factorate:(x - h) (x - k)
În acest caz, rezultatul final este:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
Metoda 6 Utilizarea unui calculator
Dacă aveți voie să utilizați un calculator grafic, fiți conștienți că acest lucru vă va facilita foarte mult sarcina, mai ales în timpul examenelor. Aceste instrucțiuni sunt valabile numai pentru calculatoarele grafice ale mărcii Texas Instrument. Luăm de exemplu următoarea ecuație:
-
Introduceți ecuația în calculator. Va trebui să folosiți „ecuația de rezolvare”, adică ecranul. -
Faceți o reprezentare grafică a ecuației dvs. pe calculator. După introducerea ecuației, apăsați - ar trebui să vedeți apoi să apară reprezentarea grafică a curbei (mai exact, veți obține un "arc", deoarece lucrați la polinoame). -
Găsiți punctele de intersecție a arcului cu axa x (x). Deoarece ecuațiile polinomiale sunt în mod tradițional scrise sub forma: ax + bx + c = 0, acestea sunt cele două valori ale lui x pentru care expresia este egală cu zero:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2. - Dacă nu puteți citi valorile locului în care curba dvs. traversează axa x, apăsați apoi. Apăsați sau selectați „zero”. Mutați cursorul la stânga uneia dintre intersecții și apăsați. Apoi mutați cursorul în dreapta acestei intersecții și apăsați din nou. Apoi, mutați cursorul cât mai aproape de intersecție și apăsați din nou. Calculatorul va găsi valoarea lui x. Faceți același lucru pentru cealaltă intersecție.
-
În cele din urmă, introduceți valorile x obținute în etapa anterioară într-o expresie cu doi factori. Dacă sunăm h și k cele două valori ale noastre x, vom folosi apoi următoarea expresie:(x - h) (x - k) = 0
Și deci, vom obține următorii doi factori:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
- Un creion
- hârtie
- O ecuație de gradul doi (sau ecuație patratică)
- Un calculator grafic (opțional)