Cunoştinţe

Cum să factorizezi un trinomial

Posted on
Autor: Monica Porter
Data Creației: 16 Martie 2021
Data Actualizării: 1 Iulie 2024
Anonim
Learn how to factor a trinomial factoring practice
Video: Learn how to factor a trinomial factoring practice

Conţinut

În acest articol: Învățarea de a factoriza x2 + bx + Învață să factorizezi trinomii mai complicate Câteva cazuri speciale de factorizări trinomiale6 Referințe

După cum indică numele său, un trinomial este o expresie matematică care ia forma unei sume de trei termeni. Cel mai adesea, începem să studiem trinomele de gradul al doilea care subscriu astfel: ax + bx + c. Există mai multe moduri de a factoriza un trinom de gradul doi. Cu practica, veți ajunge acolo fără probleme. Metodele pe care le vom vedea nu se aplică trinomelor de grad superior (cu x sau x). Cu toate acestea, lucrând aceste ultime trinomiale, se poate reveni pe trinomiale de gradul doi. Vedem toate acestea în detaliu.


etape

Partea 1 Învățarea factorizării x + bx + c



  1. Utilizați metoda SIDS. Poate îl știți, dar să ne amintim despre ce este vorba. Când trebuie să dezvolți un produs din binomuri - (x + 2) (x + 4), de exemplu - trebuie să însumi produsele diferiților termeni în ordinea „Primul, externul, internul, ultimul”. În detaliu, acest lucru oferă:
    • multiplica în primul rând termenii dintre ei:x+2)(x+4) = x + __
    • înmulțiți termenii extern între ele: (x2) (x +4) = x + 4x + __
    • înmulțiți termenii intern între ele: (x + +2)(x+4) = x + 4x + 2x + __
    • multiplica Ultimele termeni între ei: (x +2) (X +4) = x + 4x + 2x + 8
    • Finalizați simplificând: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8




  2. Înțelegeți ce este factorizarea. Când dezvoltați produsul a două perechi, obțineți un trinom al formei: arex +bx +c, a, b și c fiind numere reale. Când facem operația inversă, trecem de la trinom la produsul binomial, spunem că noi factorises.
    • Din motive de claritate, termenii unui trinomial trebuie să fie ordonați în ordinea scăderii puterii. Deci, dacă vă oferim: 3x - 10 + x, trebuie să rescrieți în ordine: x + 3x - 10.
    • Cel mai mare exponent fiind 2 (x), vorbim de trinomul „gradul doi”.



  3. La începutul factorizării, am pus forma produsului de binomii. scrie: (__ __)(__ __). Vom umple treptat spațiile rămase libere, precum și semnele.
    • Pentru moment nu punem niciun semn (+ sau -) între cei doi termeni ai binomilor.




  4. Trebuie să începeți prin a găsi primii termeni ai fiecărei perechi. Dacă trinomul dvs. începe cu x, primii doi termeni ai perechilor vor fi neapărat x și xde la x ori x = x.
    • Trinomul nostru de început fiind: x + 3x - 10 și, deoarece nu există un coeficient la x, putem scrie imediat:
    • (x __) (x __)
    • Vom vedea mai târziu cum se procedează când coeficientul de x este diferit de 1, cum ar fi 6x sau -x. Pentru moment, am rămas cu acest caz simplu.



  5. Încercați să ghiciți care vor fi ultimii termeni ai perechilor. Analizați cum, cu metoda PEID, s-au dezvoltat ultimii termeni ai binomilor. Acum trebuie să facem contrariul. Am înmulțit apoi ultimii doi termeni pentru a obține ultimul termen („constant”) al trinomului. Deci, va trebui să găsiți două numere care, înmulțite între ele, vă vor oferi constanta trinomului.
    • În exemplul nostru: x + 3x - 10, constanta este -10.
    • Care sunt factorii de -10? Care sunt cele două numere care, înmulțite între ele, îți vor da -10?
    • Iată toate cazurile posibile: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 și 2 x -5. Scrie aceste combinații undeva ca să-ți amintești.
    • Deocamdată, produsul dvs. binomial rămâne neschimbat. El arată întotdeauna: (x __) (x __).



  6. Testează diferitele combinații. Din constantă, ați reușit să identificați câteva combinații de factori, care trebuie să funcționeze (dacă trinomul este reductibil). În acest moment, nu există alte soluții decât să testați fiecare combinație pentru a vedea dacă una dintre ele satisface trinomul. De exemplu:
    • În exemplul nostru, suma produsului „extern” și a produsului „intern” trebuie să fie 3x (luate de la x + 3x - 1)
    • Luăm combinația de -1 și 10: (x - 1) (x + 10). Suma produsului „extern” și a produsului „intern” oferă: 10x - x = 9x. Nu merge!
    • Luăm combinația 1 și -10: (x + 1) (x - 10). Suma produsului „extern” și a produsului „intern” oferă: -10x + x = -9x. Încă nu merge! Veți observa în trecut că această ultimă verificare a fost inutilă. Într-adevăr, perechea (-1.10) dă 9x și perechea (1, -10) dă -9x. Așa că testează o singură pereche.
    • Luăm combinația -2 și 5: (x - 2) (x + 5). Suma produsului „extern” și a produsului „intern” oferă: 5x - 2x = 3x. Eureka! Răspunsul este: (x - 2) (x + 5).
    • În cazul trinomelor la fel de simple ca acesta (începând cu x), putem face mai scurt. Adăugați doar cei doi factori potențiali, adăugați „x” la sfârșit și vedeți imediat dacă este combinația potrivită. Acolo faci: -2 + 5 → 3x. Dacă x este flancat de un coeficient, atunci metoda nu funcționează, motiv pentru care este bine să vă amintiți metoda detaliată.

Partea a 2-a Învățarea de a factoriza trinomii mai complicate



  1. Factorul trinomial într-un trinomial mai simplu. Să presupunem că trebuie să factorizați următorul trinom: 3x + 9x - 30. Încercați să vedeți dacă nu există un divizor comun tuturor celor trei termeni. Luăm apoi cel mai mare (dacă există mai multe), de unde numele său de „Cel mai mare divizor comun” (sau PGCD). În trinomul nostru va fi 3. Să vedem în detaliu acest lucru:
    • 3x = (3) (x)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3)(-10)
    • Astfel, 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). Prin urmare, este ușor de factorizat a doua paranteză în conformitate cu metoda descrisă mai sus. Obținem astfel: (3) (x-2) (x + 5). Nu trebuie să uităm 3 pus în factor.



  2. Uneori nu putem factoriza numere reale, ci cantități cu necunoscute. Astfel putem factoriza „x”, „y” sau „xy”. Iată câteva exemple:
    • 2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)
    • x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
    • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
    • Apoi, bineînțeles, factorizați noul trinomial așa cum am văzut anterior. Verificați dacă nu există erori. Exersează cu exercițiile sugerate la sfârșitul acestui articol.



  3. Încercați să factorizați trinomialele cu un x flancat de un coeficient. Unele trinomiale de gradul doi sunt mai dificil de factorizat, imaginea de 3x + 10x + 8. Vom vedea cum procedăm, apoi ce puteți antrena cu exercițiile propuse la sfârșitul articolului. Iată cum funcționăm:
    • Cereți produsului perechi: (__ __)(__ __)
    • Fiecare dintre cei doi termeni „Primul” trebuie să aibă o „x”, iar produsul ambilor trebuie să fie de 3x. Există o singură posibilitate: (3x __) (x __), 3 fiind un număr prim.
    • Găsiți factorii de 8. Există două posibilități: 1 x 8 sau 2 x 4.
    • Luați aceste combinații pentru a găsi constantele perechilor. Punct important: întrucât „x” necunoscut are coeficienți diferiți, ordinea combinației este importantă. Trebuie să găsiți sfârșitul mijlocului, aici, 10x. Iată diferitele combinații:
    • (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x Nu!
    • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x Nu!
    • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x Nu!
    • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x da! Aceasta este factorizarea corectă.



  4. În prezența unei necunoscute cu o putere mai mare de 2, se poate crea o substituție necunoscută. Într-o zi, cu siguranță va trebui să factorizezi un trinomial al patrulea (x) sau al cincilea grad (x). Scopul este de a readuce acest trinom la ceva cunoscut, adică un trinomial de gradul doi pentru a factoriza fără probleme. De exemplu:
    • x + 13x + 36x
    • = (x) (x + 13x + 36)
    • Inventează o nouă necunoscută care va simplifica problema. Vom pune aici că Y = x. Punem o capitală Y pentru a ne aminti că este un surogat. Atunci trinomul devine:
    • = (x) (Y + 13Y + 36): factorizăm ca în prima parte.
    • = (x) (Y + 9) (Y + 4). Este timpul să înlocuim substituția necunoscută cu adevărata sa valoare:
    • = (x) (x + 9) (x + 4)
    • = (x) (x + 3) (x - 3) (x + 2) (x - 2)

Partea a 3-a Câteva cazuri speciale de trinomializări



  1. Căutați posibile numere prime. Vedeți dacă constanta și / sau coeficientul primului sau al treilea termen nu ar fi numere prime. Reamintim că se spune că un număr este „prim” atunci când este divizibil doar cu 1 sau el însuși. Pornind de la această definiție, dacă găsim un număr prim în locurile indicate mai sus, trinomul poate factoriza doar sub forma unui singur produs de binomii.
    • De exemplu, în x + 6x + 5, constanta 5 este un număr prim, deci produsul binomic va avea forma: (__ 5) (__ 1)
    • În 3x + 10x + 8, coeficientul 3 este un număr prim, deci produsul binomelor va avea forma: (3x __) (x __).
    • În cele din urmă, în 3x + 4x + 1, 3 și 1 fiind numere prime, singura soluție posibilă este: (3x + 1) (x + 1). Cu toate acestea, verificați întotdeauna combinația. Se întâmplă că unele trinomii nu pot fi luate în considerare. Astfel, 3x + 100x + 1 nu poate fi luat în considerare (spunem că este „ireductibil”). Cu 3 și 1, nu veți primi niciodată 100.



  2. Trebuie să ne gândim întotdeauna la cazul unui trinom care ar fi dezvoltarea unei identități remarcabile, un pătrat perfect pentru a lua doar acest exemplu. Prin pătrat perfect ne referim la produsul a două perechi perfect identice: (x + 1) (x + 1) pe care le scriem (x + 1). Iată câteva dintre aceste pătrate perfecte:
    • x + 2x + 1 = (x + 1) și x - 2x + 1 = (x - 1)
    • x + 4x + 4 = (x + 2) și x - 4x + 4 = (x - 2)
    • x + 6x + 9 = (x + 3) și x - 6x + 9 = (x - 3)
    • Un trinomial arex + bx + c este dezvoltarea unui pătrat perfect dacă are și c sunt ele însele pătrate pozitive (ca 1, 4, 9, 16, 25 ...) și dacă b (pozitiv sau negativ) este egal cu 2 (√a x √c) = 2 √ac.



  3. Vedeți dacă este posibil să factorizați. Într-adevăr, iI sunt trinomiale care nu pot fi luate în considerare. Dacă vă luptați să factorizați un trinom al celei de-a doua forme canonice ax + bx + c, deoarece nu există rădăcini evidente, trebuie să utilizați metoda discriminantă (Δ). Acesta din urmă se calculează astfel: Δ = √b - 4ac. Dacă Δ <0, atunci trinomul nu poate fi luat în considerare.
    • Pentru trinomele care nu sunt de gradul doi, utilizați criteriul Eisenstein explicat în secțiunea „Sfaturi”.